<<retro     LIF 3     proks>>

Libre pri Klasika Fizike

{03}

LABORE IW ENERGIE

Oftey onis diran ke "energie xran la kapable labori".

Nis viduy la suba figure.

Fig. 03A

wpe3.jpg (8389 bytes)

La figure nos montran wo korpe M glituna sur wo surfaze sen frotade ( t.x. non stan ayna forte fc du frotade inter la korpe M iw la horizontala surfaze ).

Unuey, la korpe M glitan dekstroy kun velozite vo . Sed ye la spaza punkte xi , komenzan akti sur la korpe M wo konstanta forte F , ankey direktira dekstroy, kwa akzelan uniformey la korpe inter las spazas punktes xi iw xf . Kwam la korpe atingan la punkte xf , la forte F niraperan kompletey, iw di twem la korpe sekvan glituna liberey dekstroy, kun konstanta rapideze vf .

Onis diran ke inter las punktes xi iw xf , la konstanta forte F, kwa akzelen uniformey la korpe M, realizen certa labore < L > sur twa korpe, matematikey definira per :

( labore realizira fa la forte F lawlongey du distanze Dx )

kwem Dx = xf - xi

Notuy ke la labore xran wo skalara (non-vektora) grandeze, kvankam zi suprey stan definira perey du dos vektoras grandezes (la forte iw la trariira distanze).

Pli generaley, nis povan skribi :

ow 03.01

kwem 03.02

Suprey nis videvey donen wo pli larja define por la labore realizira fa wo forte < F > , kwa krom aperi vektorey, ankey raytax varii lawlongey du certa voye < s > sekvira fa la movijuna korpe.

Alternativey, nis prezentan la integrale du instantana forte < F > way la instantana velozite < v > du korpe lawlongey du trajektorie < s > sekvira fa la korpe, inter las instantes t1 (kwam la korpe trovijan en s1) iw t2 (kwam la korpe trovijan en s2).

Dawruney, la lasta integrale ankey reskribijan kwaw :

03.03

03.04

Por solvi la lasta integralie, nis uzen la regule "part-pso-parto integralie", yeney :

Suprey, en la laboro formule, aperan wo diferenze inter dos termines, la unua kun la kwadrate du finala velozite ( v2 ) iw la dosa kun la kwadrate du iniziala velozite ( v1 ). Twas termines xran koniras kwaw la "Kineta Energie" ( ow "Kineterge" ) du korpe M . Twey nis skriban la yene :

( Kineta Energie Kineterge ) 03.05

La supra esprime xran la klasika define por la Kineta Energie ( "Kineterge" ) du wo korpe M kun konstanta mase m iw velozite v .

Nis reasertuy ke la supra formule por W , t.x. por la kineterge ow kineta energie, limijan al la kondice ke la korpo mase xruy konstanta.

Tamen en la moderna fizike, kun la advente du Teorie du Relativeze, onis komenzen akzepti ke la korpo mase du wo determinira korpe xran funkzie du zu relativa velozite rilatey al la observune du movade du twa korpe. Hodiey onis kredan ke stan eksperimentey suficey pruvira ke la inerziala korpo mase m du wo determinira korpe (ekz. du wo elektrone kwa suferan akzele per elektromagnetas fortes komandiras en wo giganta aparate nomira sinkrotrone) xran funkzie du zu relativa velozite w law la formule :

03.06

En la supra formule, mo xran la ripozo mase du korpe (ekz. du wo elektrone) kwam zi xran haltuna apud la observune. w xran la relativa velozite du korpe, t.x. rilatey al la observune, pos kwam la korpe (ekz. la elektrone en la sinkrotrone) komenzen moviji. Iw finey, m xran la inerziala mase du korpe (ekz. du elektrone movijuna en la sinkrotrone) kun velozite w respektey al la observune situira en wo "inerziala" referenzie.

En nus alia verke TETA – Transformazie (ow Teorie) du Absoluta Spaze-Tempe, nis diskuten twas aferes, iw la legune devax konsulti ze. Twey faruna, la legune komprenox ke law TETA, twa rezulte du Teorie du Relativeze povan xri konveney reinterpretira, nun denovey kun las konzeptes pri absolutas tempe iw spaze, perey du twem donira Transformazie TETA, kwa konveney substituan la nirnova Transformazie du Lorentz akzeptira fa la Teorie du Relativeze.

Lur, kreduna al la praveze du Teorie TETA, nis en jia verke di nun referon al ze, preferey om la Relativeze.

Law la Teorie TETA, la absolutista kineta energie (t.x. la absolutista kineterge) trovijan law las sekvunas defines :

03.07 03.08

Suprey, nis avran :

K absolutista kineterge.

p = m.w absolutista momante du partikle (ow du korpe).

F forte kwa akzelan la korpe.

Law la supra esprime, kalkuluney la kineterge, nis trovan :

ow 03.09

Suprey, por la absolutista momante p , validan la absolutista variabla mase m donira per Ek.03.06. Sekvey la supra ekwazie ar kwa nis devan solvi xran ankey la yena:

Solvuney la supra ekwazie, nis trovan :

( absolutista kineta energie ) 03.10

La supra rezulte, la absolutista kineterge, sugestan, per su matematika aspekte, ke ekzistan dos tipes du energie, ar kwas onis distingan kwey subey :

( absolutista dinamika energie ) 03.11

( ripozo masa energie ) 03.12

Onis kutiman legi en multas publikajes, non nur en cienzas libres, ke las dos tipes du energie suprey definiras xran eksperimentey konfirmiras pri zus ekziste, ye las realas eksperimentes kun la atome (ekz. ye la "atoma bombe"), iw ankey ye la praktika elprenade du "atoma" ow "nuklea" energie, en las "atomas" ow "nukleas" uzines, por generi elektra energie por popola uzade, flankey du alias pli tradizias rimedes elpreni energie di la nature, kwaw las nirnovas hidroelektras uzines, dank’al Dae vastey uziras en Brazilie.

TEOREME DU KONSERVADE DU MEKANIKA ENERGIE

Wo el inter las pley gravas movados tipes okazan kwam la akzeluna forte F , kwa aktan sur la partikle, xran funkzie nur soley di la pozisie okupira fa twa partikle en la spaze. En jia kaze, por la partikle sub twa forte, validan la sekvuna movado ekwazie (en unu dimensie x) :

03.13

Nis povan multobli ambas flankes du supra egalaje per la diferenzie "dx" , iw integralii ambas flankes, supozuney ke la partikle movan di wo iniziala punkte xi yu wo finala punkte xf . Nis avran :

03.14

( iniziala kineterge ) 03.15

( finala kineterge ) 03.16

( realizira labore ) 03.17

Rimarkuy ke, matematikey, ankey stan :

03.18

La supra formule Ek.03.17 nos donan la labore realizira fa wo forte F( x ), kwa xran nura funkzie du pozisie x du wo partikle M, kwam twa partikle M ralokijan di la punkte xi al la punkte xf . Nis vidan ke twa labore Lif egalan la diferenze inter las kineterges iniziala iw finala, Ki iw Kf , respektivey, du la partikle M, kwam zi trovijan sur las punktes xi iw xf , respektivey.

Onis definan la potenzialerge U( xf ) (t.x. la potenziala energie) du twa sama partikle M, kwam zi trovijan sur la punkte xf , kwaw la labore kwa xrax realizira fa la forte F( x ) por raloki la partikle M disdi la punkte xf yu wo alia liberey elekteva punkte xr , kwa ijan wo arbitra referenzia nivele por la potenzilerge du partikle M lokira en la punkte xf . Sekvey :

03.19

Nis notuy ke nis raytan ankey skribi la yene :

03.20

Di Ek.03.10 iw Ek.03.20 kombiniras, nis ankey povan skribi :

03.21

La yaa Ek.03.17 , kun la helpe du supra Ek.03.21, farijan lur :

03.22

Finey, di la supra Ek.03.22, rearanjuney zus termes, nis skriban la Teoreme du Konservade du Mekanika Energie, kwaw subey :

03.23

La kwante Em , la Mekanika Energie du Sisteme, xran konstanta en la studira kaze, kwem la korpe M movijan sub influe du wo purey konservativa forte, kwaw definirey. Twe xran, la forte F( x ) studira, kwa xran funkzie nurey du pozisie x du korpe M, nomijan konservativa, poys al ze stan asociira wo potenziale, twey ke validan ye ze la Teoreme du Konservade du Mekanika Energie. La kwante Em , la Mekanika Energie du sisteme, egalan la sume du kinerterge iw du potenzialerge du korpe, bet sar nis evey avrax wo aliotipa sisteme, en kwa trovijox non-konservativas fortes, t.x. fortes por kwas non validax jia Teoreme du Konservade du Energie. Las non-konservativas fortes nomijan ankey disipativas fortes.

La suba figure ilustran la fama afere du "klinira ebene" sen froto-forte.

Fig. 03B : La Klinira Ebene ( sen froto-forte )

wpe5.jpg (17948 bytes)

En la supra desegne, nis vidan wo korpe M glituna (sen frotade) nirsuproy lawlongey du wo klinira surfaze, kutimey nomira "klinira ebene". La angule du ebeno klineze xran a . La angule inter la pezo-forte P du korpe M iw la klinira ebeno surfaze xran b . Notuy ke :

Pri las fortes trovevas en la bilde, nis povan skribi :

( kwem g la loka gravito akzele )

Nis rimarkuy ke en la probleme donira per la supra figure, la bloke M glitan nirsuproy, en kontakte kun la surfaze du "klinira ebene", sed non stan ayna "frotade" inter la bloke iw la ebeno surfaze. Alivortey, la froto-forte inter la ebeno surfaze iw la glituna bloke xran nula ( = zere). Tway ji-kazey onis diran ke la bloke glitan sur wo "glata" surfaze.

Nun nis studuy wo nombra ekzemple por la bildira kaze. Stuy :

m = 20 kilogrames ; g = 9,8 m/s2 ; a = 30 grades ( b = 60 grades )

h = 6 metres (iniziala vertikala alteze du korpe sur la ebene)

La korpe M oyglitan (komenzan gliti) suboy startuna di la ripoze ( kun vo = zere ) iw di la vertikala alteze h = 6 metres. Nis deziran trovi la velozite du korpe kwam zi atingan la "piede" du klinira ebene, iw ankey la tempe Dt nezesa por okazi twa evente.

Solvuney, nis avran ke :

La forte Px xran la rezulta, la efektiva forte kwa altiran (suboy) la korpe M sur la klinira ebene. La rezulta, efektiva movade du korpe M xuldijan justey al twa forte Px . Tway en nus probleme nis raytan skribi, pri la movade du korpe M, la sekvuna ekwazie :

En la supra ekwazie, ax xran la rezulta (la efektiva) akzele du bloke, koresponda al la "non-kompensira" forte Px , kwo efike rezultan en la reala movade du bloke suboy.

Twey nis kalkulan la efektiva akzele ax du bloke kwaw nis subey prezentan ze :

(la rezulta akzele du korpe suboy)

La distanze D ar kwa la korpe traglitan sur la ebene rilatijan kun zu iniziala vertikala alteze h per :

Iw nun nis povan trovi la finala velozite du korpe M, kwam zi atingan la "piede" du klinira ebene, per la formule yam konira :

Sed, ji-kazey, vo = zere, lur :

La forfluuna tempe trovijan per :

La iniziala kineterge (kineta energie) du bloke xran nula, poys zu iniziala velozite xran nula. La finala kineterge du bloke kalkulijan per :

(finala bloko kineterge)

Nis bezonan kompreni, ke la pezo-forte aktuna en jia probleme du "klinira ebene" xran wo ekzemple du "konservativa forte", vidaw zi xri konstanta sendependey du pozisie okupira fa la korpe M en la spaze – ou sur la ebene, pli spezifey, en nus kaze. Tway nis raytan pripensi pri la "konstanta" gravito kampe (en jia kaze) kwaw wo "konservativa forto-kampe", al kwa certey ligijan wo "potenziala kampe", pro la vidira "Teoreme du Konservade du Mekanika Energie". Twey nis identifan la potenzialerge (t.x. la potenziala energie) ligira al la forte Px kwaw la labore ar kwe nis devax fari por puji la bloke disdi la ebeno piede yu la iniziala alteze di kwem zi descen.

Lur, prenuney la grundo nivele, sur kwa ripozan la klinira ebene, kwaw nus referenzio nivele por di ze kalkuli la valore du potenzialerge du bloke, nis trovan ke la iniziala potenzialerge du bloke, kwam zi trovijen en la alte du klinira ebene, xren :

Notuy, en la supra formule, ke h = 6 metres xran la iniziala (vertikala) alteze du bloke sur la ebene.

La finala potenzialerge (potenziala energie) du bloke xran nula, poys zu finala alteze xran nula.

Law la studira Teoreme du Konservade du Mekanika Energie, nis avran ke :

Wi iniziala kineterge (kineta energie)

Ui iniziala potenzialerge (potenziala energie)

Wf finala kineterge (kineta energie)

Uf finala potenzialerge (potenziala energie)

En nus studira probleme, nis avran, kwey vidirey :

Wi = Uf = zere

Konkludey nis povan diri ankey ke :

Wf = Ui

Sed per nus realiziras kalkules, nis troven :

Wf = 1175,1 jowles iw Ui = 1176 jowles

Komprenevey, la diferenze inter las dos supras valores xuldijan nur al kelkas aritmetikas alrondajes kwas nis faren kwam nis prozeden la kalkulade. Tway okazen wo ekarte, kwo valore xran :

ekarte = 1176 - 1175,1 = 0,9 jowles.

Reveney al la afere du energies, nis memoran ke la mekanika energie du sisteme definijan kwaw la sume du kinetika energie plus potenziala energie. Twe xran :

( mekanika energie [mekanikerge] du sisteme )

En wo fizika sisteme kwem cas aktunas fortes xran konservativas, la mekanika energie (mekanikerge) restan camey konstanta, kwaw nis viden en la supra ekzemple.

La suba figure ilustran la fama afere du "klinira ebene" kun froto-forte.

Fig. 03C : La Klinira Ebene ( kun froto-forte )

wpe6.jpg (18579 bytes)

En la supra desegne, nis vidan wo korpe M glituna (kun frotade) nirsuproy lawlongey du wo klinira surfaze, kutimey nomira "klinira ebene". La angule du ebeno klineze xran a . La angule inter la pezo-forte P du korpe M iw la klinira ebeno surfaze xran b . Notuy ke :

Pri las fortes trovevas en la bilde, nis povan skribi :

( kwem g la loka gravito akzele )

;

Nis rimarkuy ke en la probleme donira per la supra figure, stan la kineta froto-forte fc , kwa xran wo disipativa, t.x. non-konservativa forte. Kwaw kutimey, fc dependan de la reago forte N di la surfaze kontraw la kuxuna bloke, multiplikira per wo konstante mc , konira kwaw la kinetika koefiziente du frotade.

La pezo-forte P iw su komponunes, Px iw Py , xran konservativas fortes.

Nun nis studuy wo nombra ekzemple por la bildira kaze. Stuy :

m = 20 kilogrames ; g = 9,8 m/s2 ; a = 30 grades ( b = 60 grades ) ;

mc = 0,0236 ; h = 6 metres (iniziala vertikala alteze du korpe sur la ebene)

La korpe M oyglitan (komenzan gliti) suboy startuna di la ripoze ( kun vo = zere ) iw di la vertikala alteze h = 6 metres. Nis deziran trovi la velozite du korpe kwam zi atingan la "piede" du klinira ebene, iw ankey la tempe Dt nezesa por okazi twa evente.

Solvuney, nis avran ke :

La rezulta forte Rx en la direkte du klinira surfaze, suboy alpunktuna (al la "piede" du ebene), kalkulevan simpley per la diferenze inter Px (la komponune du pezo-forte twadirekta) iw fc (la froto-forte nirdirekta). Twey nis trovan :

(la rezulta akzele du korpe suboy)

La distanze D ar kwa la korpe traglitan sur la ebene rilatijan kun zu iniziala vertikala alteze h per :

Iw nun nis povan trovi la finala velozite du korpe M, kwam zi atingan la "piede" du klinira ebene, per la formule yam konira :

Sed, ji-kazey, vo = zere, lur :

La forfluuna tempe trovijan per :

La labore LR realizira fa la rezulta forte Rx valoran :

La labore LP realizira fa la pezo-forte P valoran :

La labore Lff realizira fa la kineta froto-forte fc valoran :

Rimarkuy ke la labore Lff realizira fa la froto-forte fc xran negativa, poys fc agan alpunktuna al la opona direkte du korpo movade.

Rimarkuy ankey ke :

Twe xran, la rezulta labore LR (ow ankey, la labore realizira fa la rezulta forte Rx) egalan al la sume du labores LP iw Lff realiziras fa las fortes korpo-peze iw kineta frotade (respektivey), kwas komponan la rezulta forte Rx .

POTENZIALERGE (t.x. POTENZIALA ENERGIE)

Law ekwazie 03.19, nis definen la potenzialerge en unu dimensie kwaw :

03.24

Di twe, nis povan esprimi wo konservativa forte kwaw la negativa derivate du potenziala kampe ligira al ze. Matematikey :

03.25

Sed la supra kaze xran apurey unu-dimensia. Nun nis interesijan generalizi nus studade al wo konservativa forto kampe tri-dimensia.

Sar la forte aktuna sur wo partikle M lawlongey du wo trajektorie C en la tri-dimensia spaze xran funkzie du pozisie ( x , y , z ) du twa partikle, lur la labore Lif efektivira fa la forte por raloki la partikle M disdi la pozisie ( xi , yi , zi ) yu la pozisie ( xf , yf , zf ) korespondan al la integralie :

03.26

kwem nis avran ke :

Nis rimarkuy ke pri nus tri-dimensia studade, nis vlan uzunas Kartezias (ow Rektangulas) koordinates ( x , y , z ), por komenzi, pro zu simpleze. Sed nis raytax uzi alias sistemes, kwaw la Cilindra iw la Sfera koordinatos sistemes. Komprenevey, por wo aparta definira kaze, nis elekton la pley tawga koordinato sisteme por pritrakti ze.

Por defini la potenzialerge U(x,y,z) du wo tri-dimensia kampo forte, nis devan fari wo analogie kun ekwazie 03.24. Twey nis skriban :

03.27

Kwaw en la unu-dimensia define, en la supra esprime stan la arbitra referenzia punkte ow nivele sr = ( xr , yr , zr ).

Sed la matematika supra define, wo lawlinia integralie lawlongey di wo kurbe C, di la punkte sr = ( xr , yr , zr ) yu la punkte s = ( x , y , z ) , por avri unu unika valore iw sekvey por avri senze, bezonan submetiji al la kondice ke la integralie avran la sama valore por kwa ayna voye, por kwa ayna trajektorie law kwa nis movijon disdi sr yu s . Ow alivortey, la supra integralie, Ek.03.27, devan xri sendependa di la voye.

Matematikey, nis trovan ke twa kondice xron plenumira kazey du la forte korespondi al la negativa gradiente du potenzialerga funkzie, t.x. :

03.28

La supra Ek.03.28 povan xri konsiderira kwaw la solve du Ek.03.27, por F(x,y,z,) , law wo funkzie dependa di U(x,y,z) . Law la forme du komponunes, en rektangulas koordinates, nis avran ke :

( operaziune NABLI ) 03.29

03.30

Deziruney trovi las kondices ar kwas la forto-funkzie F(x,y,z) devan plenumi, twey ke la integralie Ek.03.27 ijuy sendependa di la voye, nis rememoruy las yenas vektoras proprezes:

03.31

( la vektora produkte du wo vektore per se prux xran nula )

La supra propreze etendijan al la operaziune NABLI :

03.32

Kun la supra propreze du operaziune NABLI, aplikira al la potenziala funkzie U(x,y,z) , nis avran ke :

03.33

Twe xran, la rotazionale du gradiente du funkzie potenzialerge U(x,y,z) xran camey nula (egala al zere), pro las vektoras proprezes. Di twe, per Ek.03.28, nis trovan ke la forte F(x,y,z) , por fari la integralie Ek.03.27 as sendependa di la voye, devan lur plenumi la sekvuna kondice :

03.34

La supra Ek.03.34 xran wo nezesa kondice ar kwa la forto-funkzie F(x,y,z) devan plenumi ya om nis trovi la koresponda potenziala funkzie U(x,y,z). Per la Teoreme du Stoke, demonstrijan ke la kondice Ek.03.34 xran ankey wo sufica kondice por la ekziste du wo potenzialerge por twa forte.

Nis konsideruy wo fermira voye C en la tridimensia spaze, kwaw ilustrira en la suba figure ( Fig.03D ).

Law la Teoreme du Stoke, nis avran ke :

03.35

Fig.03D : Teoreme du Stoke

wpe7.jpg (10179 bytes)

Notuy ke en Fig.03D, la vektore N xran orta ( ow perpendikla ) al la surfaze S , iw nis avran ke :

xran la unita vektore koresponda al N . 03.36

En Ek.03.35, la unua integrale reprezenta la labore realizira fa wo forte F(x,y,z) lawlongey di wo fermira voye C . Kazey du kondice Ek.03.34 xri valida, lur, per la Teoreme du Stoke, twa integrale devan xri nula ( = zere). Twe xran :

por 03.37

Twey nis konkludan ke la labore realizira fa wo konservativa forte lawlongey du wo fermira voye xran nula ( = zere ).

Nun nis viduy la suba Fig.03E.

Fig. 03E

wpe8.jpg (6426 bytes)

Kwaw vidirey per la Teoreme du Stoke, ankey por la supra cirkwite, la labore realizira fa wo konservativa forte por alporti wo partikle disdi la punkte P1 yu la punkte P2 , lawlongey di la voye s1 , plus la labore realizira fa twa sama forte, por alporti reveney la sama partikle, disdi la punkte P2 yu la punkte P1 , lawlongey di la voye s2 , devan xri nula. Sekvey nis devan konkludi ke la labore realizira fa la forte lawlongey di la voye s1 xran egala iw opona al la labore realizira fa la forte lawlongey di la voye s2 . Sekvey nis devan konkludi ke la labore kwa xrax realizira fa twa konservativa forte por alporti la partikle disdi la punkte P1 yu la punkte P2 , non dependan di wo aparta trajektorie inter las punktes P1 iw P2 . Alivortey, por konservativas fortes, la integrale du labore realizira fa la forte inter dos spezifas punktes en la spaze xran sendependa di wo aparta trajektorie inter twas dos punktes.

Nis rimarkuy ke :

03.38

Stan klarey ke en la supra esprime, stan :

03.39

U( si ) potenzialerge du korpe M ye la punkte si respektey al la nivele sr .

03.40

U( sf ) potenzialerge du korpe M ye la punkte sf respektey al la nivele sr .

Law rektangulas koordinates, nis ankey skribax ke :

iw 03.41

La labore realizira fa la konservativa forte F(x,y,z) por alporti wo partikle M , kwo mase egalan m , disdi la punkte s1 yu la punkte s2 , ankey skribijan kwaw :

03.42

kwem nis avran ke :

03.43

03.44

Ki xran la iniziala kineta energie ( ow iniziala kineterge ) du partikle M, t.x. la labore nezesa por akzeli la partikle M disdi la ripoze ( w = 0 ) yu la velozite wi , ar kwa la partikle avran ye pasi sur la iniziala punkte si . Rimarkuy ke nis disvolven la supra esprime, twamanierey ke nis inkludan non nur la klasika kineterge ( kwem la korpo mase m xran konstanta ) , sed nis ankey inkludan la absolutista kineterge ( law la Teorie TETA, kwem la korpo mase m non xran konstanta, sed m xran wo funkzie du velozite, kwaw nis viden en Ek.03.06 ).

Por Ek.03.42, nis ankey avran ke :

03.45

03.46

Kf xran la finala kineta energie ( ow finala kineterge ) du partikle M, t.x. la labore nezesa por akzeli la partikle M disdi la ripoze ( w = 0 ) yu la velozite wf , ar kwa la partikle avran ye pasi sur la finala punkte sf .

Per la kombine du Ek.03.38, pri potenzialerge, kun la Ek.03.42, pri kineterge, nis trovan devoney, ji-foyey en la tridimensia spaze, la Teoreme du Konservade du Mekanika Energie, ar kwa nis unuey dedukten por la unu-dimensia spaze. Twe xran :

03.47

ow ankey :

03.48

kwem Em xran la totala mekanika energie ( konstanta, ji-kazey ) du nus sisteme regira fa konservativas fortes.

 

<<retro     LIF 3     proks>>