<<alfateta     MAT 1     proks>>

Manuale pri Matematike

BAZAS NUMERES IW OPERAZIES

NÚMEROS E OPERAÇÕES BÁSICOS

No quadro abaixo encontram-se os principais numerais de ALFA26.

En la suba kadre trovijan las cefas numeres du ALFA26.

Num.

A26-nome

 

Num.

A26-nome

0

zere

1000

mil

1

unu

1000.000

milione

2

dos

109

dosilione ( = bilione )

3

tri

1012

triilione ( = trilione )

4

kwar

1015

kwarilione

5

kwin

1018

kwinilione

6

ses

1021

sesilione

7

siv

1024

sivilione

8

ok

1027

okilione

9

naw

1030

nawilione

10

dek

1033

dekilione

100

cent

10303

centilione

Os demais números formam-se pela combinação desses acima, como nos exemplos a seguir.

Las ceteras nombres formijan per la kombinade du numeres suprey doniras, kwaw en las sekvunas ekzemples.

11 - dek unu [onze], 12 - dek dos [doze], 13 - dek tri [treze],

17 - dek siv [dezessete], 20 - dosdek [vinte], 21 - dosdek unu [vinte e um],

22 - dosdek dos [vinte e dois], 28 - dosdek ok [vinte e oito], 30 - tridek [trinta],

777 - sivcent sivdek siv [setecentos e setenta e sete],

2953 - dosmil nawcent kwindek tri [dois mil novecentos e cinquenta e tres], itp.

Números ordinais, adjetivos e adverbiais, formam-se como nos exemplos a seguir:

Ordenas nombres, adjektivas iw adverbas, formijan kwaw en las sekvunas ekzemples :

1a - unua [primeiro], 2a - dosa [segundo], 3a - tria [terceiro], 7a - siva [setimo], 25a - dosdek-kwina [vigesimo quinto], 183a - cent-okdek-tria [centesimo octogesimo terceiro].

1ey - unuey [primeiramente], 2ey - dosey [em segundo lugar], 3ey - triey [em terceiro lugar], 7ey - sivey [em setimo lugar], 25ey - dosdek-kwiney [em vigesimo quinto lugar].

Números multiplicativos formam-se com o sufixo "-obl-". Por exemplo :

Multiplikovas nombres formijan kun la sufikse "-obl-". Ekzempley :

La dosoble du kwar xran ok [O dobro de quatro é oito].

La trioble du siv xran dosdek unu [O triplo de sete é vinte e um].

Xi suferen dosobley om xu fratine [Ela sofreu o dobro do que (sofreu) a irmã].

Hodiey mi aman Hariel triobley om rierey [Hoje eu amo Hariel o triplo (triplamente) do que ontem].

Martan aceten wo dosobla fotele - non wo sofe [Marta comprou uma poltrona dupla - não um sofá].

As quatro operações fundamentais são : / Las kwar fundamentas operazies xran :

Adizie (adição)

2 + 3 = 5

dos plus tri egal kwin

Subtrahie (subtração)

10 - 7 = 3

dek minus siv egal tri

Multiplikie (multiplicação)

2 ´ 3 = 6

dos way tri egal ses

Dividie (divisão)

12 / 4 = 3

dekdos psa kwar egal tri

As frações formam-se como nos exemplos a seguir :

Las frakzies formijan kwaw en las sekvunas ekzemples :

1/2 - dosebe [meio] , 1/3 - triebe [um terço] , 1/7 - sivebe [um sétimo].

1/10 - dekebe [um décimo] , 1/100 - centebe [um centésimo].

1/1000 - (unu) milebe [(um) milésimo].

1/30 - (unu) tridekebe [(um) trinta-avos].

1/700 - (unu) sivcentebe [(um) setecentos-avos].

3/10 - triopos dekebes [três décimos].

7/100 - sivopos centebes [sete centésimos]. 

12/35 - dekdosopos tridek-kwinebes [doze trinta-e-cinco-avos].

191/3307 - cent-nawdek-unuopos tri-mil tricent sivebes.

3307/191 - tri-mil tricent sivopos cent-nawdek-unuebes.

KELKAS SPEZIALAS NUMERES
ALGUNS NÚMEROS ESPECIAIS

p

Numere PI = 3,1415...

F

Numere FI = 2,7182...

Y

Numere PSI =

La numere PI (p) xran definira kwaw la frakzie du longeze du cirkonferenze super su diametre.

La numere FI (F) xran ankey la "beze du naturalas logaritmes". Ekzempley:

ln ( F ) = 1 ("log-FI du FI egal unu")

ln (10) » 2,302585093 ("log-FI du 10 egal proksimey 2 kome 302585093")

F2, 302585093 » 10 ("FI potencira per 2 kome 302585093 egal proksimey 10")

La numere PSI (Y) xran la "imaginara unite". Per ze onis faziley skriban las numeres "purey imaginaras" iw las "numeres komplexas".

Viduy la suba kadre pri "las cefas klases du numeras konjunktes".

CEFAS KLASES DU NOMBRAS KONJUNKTES
PRINCIPAIS CLASSES DE CONJUNTOS NUMERICOS

KLASE / CLASSE

EKZEMPLES / EXEMPLOS

NATIRA / NATURAIS

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ...

PARA / PARES

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, ...

IMPARA / IMPARES

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, ...

PRIMA / PRIMOS

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 31, 37, 41, ...

INTERA / INTEIROS

- 7, - 6, - 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

RAZONEVA / RACIONAIS

- 9/2, - 2, - 3/2, - 1, - 1/2, 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 9/2, 20/3, 197/11 ...

NONRAZONEVA / IRRACIONAIS

p (PI = 3,1415...), , , p2, F (FI = 2,7182...), ...

REELA / REAIS

- p , - F, , 0, 1, 7, 5/2, 7/3, 11, p, p2, F, 197/11, 1000, ...

IMAGINARA / IMAGINARIOS

y (= ), - y (= - ), 2y , - 2y , 7y , - 7y , y , ...

KOMPLEXA / COMPLEXOS

1 + y , 1 - y , 2 + 3y , 2 - 3y , 1 + y , 1 - y , ...

 

KELKAS MATEMATIKAS RILATES INTER NOMBRAS KONJUNKTES

MATEMATIKA PROPREZE DU KONJUNKTES

MANIERE FORMALEY LEGI

{NATIRA} Ì {INTERA}

natira konjunkte xran kontenira en intera konjunkte

{RAZONEVA} È {NONRAZONEVA} º {REELA}

razoneva konjunkte kunira kun nonrazoneva konjunkte identan al reela konjunkte

{INTERA} Ì {REELA}

intera konjunkte xran kontenira en reela konjunkte

{IMAGINARA} Í {IMAGINARA}

imaginara konjunkte xran kontenira ow xran identa al imaginara konjunkte

{IMAGINARA} È {REELA} º {KOMPLEXA}

imaginara konjunkte kunira kun reela konjunkte identan al komplexa konjunkte

{INTERA} Ì {RAZONEVA}

intera konjunkte xran kontenira en razoneva konjunkte

{INTERA} Ë {NONRAZONEVA}

intera konjunkte non xran kontenira en nonrazoneva konjunkte

{NONRAZONEVA} Ë {INTERA}

nonrazoneva konjunkte non xran kontenira en intera konjunkte

{PRIMA} Ì {NATIRA}

prima konjunkte xran kontenira en natira konjunkte

{ z = x + y y } Î {KOMPLEXA}

[ z = x + y y ] apartenan al komplexa konjunkte

{ z = x + y y | y ¹ 0 } Ï {REELA}

[ z = x + y y ] , kondicey ke [ y ¹ 0 ] , non-apartenan al reela konjunkte

{REELA} Ç {IMAGINARA} º { zere }

reela konjunkte intersekziey kun imaginara konjunkte identan al konjunkte kwa kontenan nur la elemente "zere"

{RAZONEVA} Ç {NONRAZONEVA} º Æ

razoneva konjunkte intersekziey kun nonrazoneva konjunkte identan al vazie ("nirplenaje")

{NATIRA} Ç {REELA} º {NATIRA}

natira konjunkte intersekziey kun reela konjunkte identan al natira konjunkte

{REELA} Ç {KOMPLEXA} º {REELA}

reela konjunkte intersekziey kun komplexa konjunkte identan al reela konjunkte

KELKAS SUPERAS MATEMATIKAS OPERAZIES

RADIKLIE:

(legu: " la radikle du 25 egal 5 ")

(legu: " la dosa radikle du 25 egal 5 ")

(legu: " la tria radikle du 27 egal 3 ")

(legu: " la kwina radikle du 16807 egal 7 ")

Note:

" " xran la " radiklo-signe ".

En " " , " 16807 " xran la "beze" ow la "radiklire",

" 5 " xran la "radiklune", iw " 7 " xran la "radikle".

POTENCIE:

22 = 4 (legu: "dos pontecira per dos egal kwar")

23 = 8 (legu: "dos potencira per tri egal ok")

33 = 27 (legu: "tri potencira per tri egal dosdek-siv")

75 = 16807 (legu: "siv potencira per kwin egal dekses-mil okcent-siv")

p-1 = 1/p (legu: "PI potencira per minus-hum egal la inverse du PI")

Fx = y (legu: "FI potencira per xis egal ye")

x y = z (legu: "xis potencira per ye egal zet")

y2 = - 1 (legu: "PSI potencira per dos egal minus-unu")

(legu: "S potencira per zere egal unu" [ valida por ayna S ¹ 0 ] )

Note: En " Fx = y " , " F " xran la "beze" ow la "potencire",

" x " xran la "potencune" ow "espoente", iw " y " xran la "potence".

LOGARITMIE:

("log bezo dek du mil egal tri")

("log bezo b du b potencira per n egal n")

("nat-log du FI potencira per n egal n")

Note:

"log" xran kurtaje por "logaritme". Sar onis non diran ie kontrawa, onis supozan ke la "beze" du twa logaritme xran "10". "nat-log" xran kurtaje por "naturala logaritme". Avaw "nat-log", onis ankey raytan diri "log-FI" (kwa xran ekvivalenta). Komprenevey, por la "nat-log" ow "log-FI", la "beze" xran " F ", kwo nombra valore xran proksimey F » 2,7182.

Aldoney:

("log bezo F du xis egal nat-log du xis")

("log [bezo 10] du FI egal proksimey 0,434294481")

("nat-log du dek egal proksimey 2,302585093")

Note:

Fx = y Þ ln (y) = x

107 = 10.000.000 Þ log (10.000.000) = 7

log ( 1 ) = 0 poys 100 = 1

ln ( 1 ) = 0 poys F0 = 1

FAKTORIALIE:

0 ! = 1 (legu: "faktoriale du zere egal unu")

1 ! = 1 (legu: "faktoriale du unu egal unu")

2 ! = 1 ´ 2 = 2 (legu: "faktoriale du dos egal dos")

3 ! = 1 ´ 2 ´ 3 = 6 (legu: "faktoriale du tri egal ses")

4 ! = 1 ´ 2 ´ 3 ´ 4 = 24 (legu: "faktoriale du kwar egal dosdek-kwar")

5 ! = 1 ´ 2 ´ 3 ´ 4 ´ 5 = 120 (legu: "faktoriale du kwin egal cent-dosdek")

N ! = 1 ´ 2 ´ 3 ´ 4 ´ 5 ´ ....... ´ N

Legu: "faktoriale du Eni egal 1 way 2 way 3 way 4 way 5 way itp way Eni".

Komprenevey, onis devan "faktorialii" nur "natiras nombres".

KELKAS PROPREZES DU SUPERAS OPERAZIES

;

;

;

;

;

;

;

CEFAS TRIGONOMIAS FUNKZIES

Stuy wo "orta triangule", twe xran, wo triangule kwa avran wo "orta angule", twe xran, wo angule "rekta" ow "mezuruna 90 grades". Twa "orta triangule" avran wo "hipotenuze" (kwa xran la pley longa latere) iw dos "katetes" (kwas xran, naturey, las dos alias lateres). (Vidu la suba Fig.).

wpe1.jpg (8802 bytes)

Nis nomuy la hipotenuze as "A", iw las dos katetes nis nomuy as "B" iw "C".

Stuy a la orta angule (lur, opona al la hipotenuze), stuy b la angule opona al la latere B, iw finey stuy g la angule opona al la latere C.

Cefas trigonomias rilates por la "orta triangule" xran las yenas:

( sinuse du b )

( kosinuse du b )

( tangente du b )

Cefa trigonomia identeze :

(kwadrata sinuse du b plus kwadrata kosinuse du b egal unu)

Nis notuy ankey ke:

(tangente du b egal sinuse du b super kosinuse du b)

KELKAS GRAVAS SERIES

CEFA POTENCA SERIE

LOGARITMAS SERIES

( por | x | < 1 )

( por x > 0 )

TRIGONOMIAS SINUSE IW KOSINUSE

HIPERBOLAS SINUSE IW KOSINUSE

LA GRAVA BINOMIA SERIE

( por | x | < 1 ; x iw p as reelas nombres )

TRIGONOMIA ARKTANGENTE 

( por | x | < 1 )

HIPERBOLA ARKTANGENTE 

( por | x | < 1 )

KELKAS GRAVAS RILATES INTER GRAVAS FUNKZIES

POTENCA FUNKZIE IW TRIGONOMIAS FUNKZIES

( Y = )

( Y = )

POTENCA FUNKZIE IW HIPERBOLAS FUNKZIES

( hiperbola sinuse du xis )

( hiperbola kosinuse du xis )

( hiperbola tangente du xis )

Cefa Hiperbola Identeze :

HIPERBOLAS IW TRIGONOMIAS FUNKZIES

Note: (numere "PSI")

INVERSAS FUNKZIES TRIGONOMIAS IW HIPERBOLAS

Þ ( y xran la angule kwo sinuse xran x )

Þ ( y xran la angule kwo kosinuse xran x )

Þ ( y xran la angule kwo tangente xran x )

Þ ( y xran angule kwo hiperbola sinuse xran x )

Þ ( y xran angule kwo hiperbola kosinuse xran x )

Þ ( y xran angule kwo hiperbola tangente xran x )

NOTE

Kwam onis laboran kun trigonomias funkzies, onis kutiman mezuri las arkes du cirkle ow law grades [la cirkle dividijan law 360 grades] ow law radianes [la cirkle dividijan law 2p radianes].

Sed kwam onis laboran kun hiperbolas funkzies, onis kutimey uzan nur radianes, kwas aspektan kwaw komunas nombres.

Notuy ke angules, mezuriras ti per grades, ti per radianes, non akzeptan fizikas dimensies du tipe metre (por spaze), sekonde (por tempe), jowle (por energie), itp. En twa senze, angule xran wo grandeze purey geometria.

KELKAS GRAVAS IDENTEZES TRIGONOMIAS IW HIPERBOLAS

LIMESES

Legu: la limese du {....} kwam x tendenzan al plus ow minus infinite egal FI, egal cirkaw 2,718281828.

Konsideruney ke la cirkonferenze mezuran 2p radianes, iw konsideruney ke onis vlan mezurunas wo arkolonge x law radianes, lur:

Legu: la limese du {....} kwam x tendenzan al zere egal unu.

Legu: la limese du {....} kwam Dx tendenzan al zere egal derivate du f(x).

Legu: la limese du {....} kwam Dx tendenzan al zere egal kosinuse du x.

Legu: la limese du {....} kwam Dx tendenzan al zere egal minus sinuse du x.

DERIVATES

Stuy kwaw konstantes: a , b , c , k , m , n .

Stuy kwaw variables: x , y , z , t , u , v .

Yen subey kelkas utilas regules du derivatie :

;

( por v ¹ 0 )

( la "ceno-regule" )

( por u > 0 )

( por u > 0 )

{ - p/2 < arksin(u) < p/2 }

{ 0 < arkkos(u) < p }

{ - p/2 < arktan(u) < p/2 }

{ " + " sar arkkh(u) > 0 iw u > 1 ; " - " sar arkkh(u) < 0 iw u > 1 }

{ - 1 < u < 1 }

INTEGRALES

Stuy kwaw konstantes: a , b , c , k , m , n .

Stuy kwaw variables: x , y , z , t , u , v .

Yen subey kelkas utilas regules du integralie :

----------------------------------------------------------------------------------------------

Notes:

En las subas formules, las "integrales" xran "nondefinitas", poys onis non "definen" las limes inter kwas onis kalkulan zes (lawlongey du la akse du la "sendependa variable", kwa xran ankey la "variable du integralie").

En las subas formules por "nondefinitas integrales", onis devan subkompreni ke pso ca "integralaje" ekzistan wo "aldona konstante" (kwaw " + k ") , kwa tamen onis non skriben por eviti ofta ripetije.

-----------------------------------------------------------------------------------------------

;

( "part-pso-parto integralie" )

( por n ¹ - 1 , u > 0 )

( por u > 0 )

( por a > 0 , a ¹ 1 )

( por x > 0 )

{ " - " sar arkkh(x/a) > 0 ; " + " sar arkkh(x/a) < 0 }

KOMPLEXAS NUMERES

KELKAS PROPREZES

Î { KOMPLEXA KONJUNKTE } ( )

Î { KOMPLEXA KONJUNKTE } ( )

En matematike, onis diran ke z* xran la "komplexa konjugire" du z .

r º magnitude du komplexa numere z .

Las samas numeres z iw z* kwas aperen suprey ankey povan skribiji kwaw sekvan :

( )

( )

Rimarkuy ke :

; ; ;

La potence du grade n (xrani n natira nombre) trovevan per la formule :

La radikle du grade n (xrani n natira nombre) trovevan per la formule :

En la supra formule, stan k = 0, 1, 2, 3, ... , n - 1 .

Twas xran las n radikles du grade n du komplexa numere z .

LA KONZEPTE PRI FUNKZIE

Wo funkzie y = f( x ) xran wo regule ow korespondaje kwa asocian unu iw nur unu valore "y" (la dosa "variable", ow "dependa" variable) al ca eva valore du variable "x" (la unua "variable", ow "sendependa" variable).

Ekzempley, subey nis ilustran, per wo Kartezia Grafike, la funkzie y = x2 , kondicey ke x > 0.

wpe2.jpg (9266 bytes)

Wo Kartezia grafike por la funkzie y = f(x) = x2

Por la supra funkzie, kvankam algebrey onis avran la kwadrate du cas reelas nombres, ti pozitivas, ti negativas, nis definen ke la domine du funkzie xran neprey pozitiva (nis ekskluden bet la zere).

La domine du funkzie xran sekvey la regione du akse x di kwem nis prenan las reelas nombres kwaw argumente por la funkzie, t.x. por trovi la koresponda valore y du dependa variable.

Kwaw plia ekzemple nis konsideruy la suba funkzie.

Konsideruney ke nis devan defini la supra funkzie eney du konjunkte du reelas nombres, sekvey la maksimuma domine defineva por ze xran twa twey ke nis avrax : 4 + x ³ 0 , di kwe nis trovan x ³   - 4 .

FUNKZIES EL DOS VARIABLES

Konsideruy wo rekta cirkla cilindre, fermira ye las dos ekstremes, kun base kwo radiuse xran r , iw kwo alteze xran h . La aree du totala ekstera surfaze du twa cilindre mezuran S donira per

Nis kutiman diri ke la (dependa) variable S xran wo funkzie du dos (sendependas) variables r iw h , iw nis skriban :

Ekzempley, sar r = 11 cm iw h = 5 cm , lur :

S = f(11, 5) = 2 p (11)(5) + 2 p (11)2 = 352 p cm2 .

Per certa formaleze, nis definan ke: wo reela funkzie, z = f(x, y) , du dos reelas (sendependas) variables, x iw y, xran wo rilate kwa transforman en wo unika reela nombre z ca ordenira pare (x, y) el reelas nombres du wo konjunkte D, nomira domine du funkzie z = f(x, y) .

Notuy ke en la ekwazie z = f(x, y) , z xran la dependa variable, dum (x, y) xran las sendependas variables. La konjunkte du cas evas valores du dependa variable z (por cas evas ordeniras pares (x, y) en la domine D) forman la bilde du funkzie f .

Ekzemple:

Konsideruy la funkzie el dos variables

, kwo grafike nis vidan subey, partey :

wpe3.jpg (8279 bytes)

La supra funkzie avran domine D twaw ke { 9 – x2 – y2 ³ 0 } ow { x2 + y2 £ 9 } . La bilde du funkzie, kwo parte nis prezenten en la supra grafike, korespondan al wo hemisfere (ow "xawnsfere") turnira suboy, sur la ebene ( X, Y ). En la supra grafike, nis prezenten nur unu kwadrante du hemisfere, kwa korespondan al unu oktante du kompleta sfere.

LIMESES IW KONTINUEZE

La konzepte pri limese faziley etendijan al funkzies du dos ou pli variables. Ekzempley, aserti ke z = f(x , y) tendenzan al limese L kwam (x , y) tendenzan al (xo , yo) , signifan ke jor la nombres (x, y) alproksiman al (xo , yo) , tor la nombre f(x, y) alproksiman al la nombre L , kondicey ke (x, y) ¹ (xo , yo ) . La matematika notazie xran :

ow

Kwaw ekzemple, nis viduy :

La define du kontinueze por wo funkzie du dos variables xran analoga al twa, por funkzies du nur unu variable. Kazey du dos variables, nis diran ke wo funkzie xran kontinua, sar nis avran ke :

( i ) ekzistan , iw

( ii )

LAWPARTAS DERIVATES

Las regules iw ekzemples pri diferenziaze du funkzies el unu variable povan xri generaliziras por la diferenziaze du funkzies el dos ow pli variables.

Kazey du funkzies el dos variables, z = f(x, y), onis diferenzian lawpartey la funkzie f respektey al la variable x konsideruney x kvazaw la unika variable du funkzie f , iw konsideruney y kvazaw wo konstante. Iw onis diferenzian lawpartey la funkzie f respektey al la variable y konsideruney y kvazaw la unika variable du funkzie f , iw konsideruney x kvazaw wo konstante.

Kazey du lawpartas derivates ow diferenzies, onis uzan la simbole (ronda de) avaw la simbole d , kwa signifan totala derivate ow diferenzie.

Twey nis avran ke, por funkzies el dos variables, la lawparta derivate respektey al la variable x definijan kwaw :

Iw la lawparta derivate respektey al la variable y definijan kwaw :

... kondicey ke las limeses ekzistax !

Kwaw nombra ekzemple, nis konsideruy la funkzie ...

La lawparta derivate respektey al la variable x xran :

La lawparta derivate respektey al la variable y xran :

TOTALA DIFERENZIE

Nis supozuy ke en la funkzie el dos variables z = f(x, y) , las variables (x, y) suferuy ambas nirgrandas kreskes, pasunas al (x + D x, y + D y). Konsekvenzey, z pasan al z + D z , twey ke nis avran :

Konsideruney ke f xruy diferenzieva en (x, y) , nis saban ke la erare el la sekvuna lineara alproksime xron nirgranda :

Sekvey, nis povan alproksimi D z twaw ke:

Analogey al funkzies el nur unu variable, sekvey onis definan la totala diferenzie dz du funkzie z = f(x , y) (el dos variables) twaw ke :

DIFERENZIAS EKWAZIES

Wo diferenzia ekwazie xran wo ekwazie kwa envolvan wo nonkonira funkzie iw su derivates.

Ekzempley, las sekvunas ekwazies xran diferenzias ekwazies envolvunas la nonkonira funkzie y :

( 1 )

( 2 )

( 3 )

( 4 )

( 5 )

Wo diferenzia ekwazie xran nomira ordinara (O.D.E.) sar la nonkonira funkzie dependan du nur unu sendependa variable. Sar la nonkonira funkzie dependan du dos ow pli sendependas variables, sekvey nis avran wo lawparta diferenzia ekwazie (P.D.E.), ow ekwazie du lawpartas derivates.

En la supra liste du kwin diferenzias ekwazies, las ekwazies 1, 2, 3, 4, xran cas O.D.E., poys la nonkonira funkzie y dependan nurey du variable x . La ekwazie 5 xran wo P.D.E., poys en ze la variable y dependan du dos sendependas variables, t iw x .

En jia tekste, nis okupijan nurey pri las ordinaras diferenzias ekwazies (O.D.E.) .

La ordene du wo diferenzia ekwazie xran la ordene du pli alta derivate trovijuna en ze.

En la supra ekwazio liste, la ekwazie 1 xran wo O.D.E. du unua ordene. Las ekwazies 2 iw 4 xran O.D.E. du dosa ordene. La ekwazie 3 xran O.D.E. du tria ordene.

La grade du wo diferenzia ekwazie, kwa povan xri skribira kwaw wo polinomie per la nonkonira funkzie iw su derivates, xran la espoente kwa operazian la derivate kwo ordene xran la pley alta.

En la supra ekwazio liste, la ekwazie 4 xran du tria grade, poys la derivate du pley alta ordene (du dosa ordene) trovijan potencira per 3 . Las ekwazies 1 iw 3, xran du unua grade.

Non ca diferenzia ekwazie klasijan pri grade. En la supra ekwazio liste, ekzempley, la ekwazie 2 non posedan grade, poys zi non skribijan kwaw wo polinomie du nonkonira funkzie iw su derivates, pro la steze du terme F y.

Wo O.D.E. (ordinara diferenzia ekwazie) du ordene n per la nonkonira funkzie y iw per la sendependa variable x xran lineara sar zi korespondan al la forme:

( 6 )

Las funkzies bj(x) ( j = 0, 1, 2, ..., n ) iw g( x ) , xran koniras iw dependan nur du variable x .

Las diferenzias ekwazies kwas non reduktijan al la supra forme ( 6 ), nomijan non-linearas.

Ekzempley, en la pli supra ekwazio liste, la ekwazie ( 1 ) xran wo O.D.E. lineara du unua ordene, kun b1(x) = 1 , bo(x) = 0 , iw g(x) = 5 x + 3 . La ekwazie ( 3 ) xran wo O.D.E. lineara du tria ordene, kun b3(x) = 4 , b2(x) = sen(x) , b1(x) = 0 , bo(x) = 5x , g(x) = 0 . Las ekwazies ( 2 ) iw ( 4 ) xran non-linearas.

Oftey onis uzan las simboles y’ , y" , y’" , y(4) , ..., y(n) , por reprezenti las derivates du ordenes, respektivey, unua, dosa, tria, kwara, ..., enia du y , rilatey al la sendependa variable x.

DEFINE DU SOLVE POR DIFERENZIAS EKWAZIES

Wo solve por wo diferenzia ekwazie ye la nonkonira funkzie y iw ye la sendependa variable x en la intervale I , xran wo funkzie y( x ) kwa verifan identey la ekwazie por ca x en I.

Ekzempley:

, kun c1 iw c2 as arbitras konstantes, tu zi xran solve du

?

Diferenziuney y( x ) nis trovan :

Substituuney las troviras derivates en la originala ekwazie, nis trovan :

Sekvey la prezentira funkzie satifan la donira diferenzia ekwazie por cas valores du x , iw zi sekvey xran wo solve en la intervale ( - ¥ , + ¥ ).

Wo aparta (ow partikulara) solve du wo diferenzia ekwazie xran ayna solve du twa. La genearala solve du wo diferenzia ekwazie xran la konjunkte (la kompleta kolekte) du cas solves du twa.

Ekzempley, la generala solve du diferenzia ekwazie xran twa yam prezentira, . Twe xran, ca aparta solve du twa diferenzia ekwazie avran twa donira generala forme. Sar nis elektax spezialas nombras valores por c1 iw c2 , nis skribax apartas (ow partikularas) solves por la ekwazie.

Non camey la generala solve du wo diferenzia ekwazie resumijan law wo unika formule. Ekzempley, nis konsideruy la diferenzia ekwazie :

Twa supra ekwazie akzeptan las dos yenas apartas solves :

iw

... kwas non evan skribi law wo unika formule.

PROBLEMES DU INIZIALAS VALORES.

PROBLEMES DU KONTURAS VALORES.

Wo probleme du iniziala valore konsistijan el wo diferenzia ekwazie plus kunstezas kondices rilatey al la nonkonira funkzie iw su derivates stabliras ye wo unika punkte (ow valore) du sendependa variable du twa nonkonira funkzie. Twas kunstezas kondices nomijan lur las inizialas kondices du probleme.

Sar las kunstezas kondices referan al pli om unu valore du sendependa variable du la nonkonira funkzie iw su derivates, twakazey nis avran wo probleme du konturas valores. Twas kunstezas kondices nomijan lur las konturas kondices du probleme.

Ekzempley, la sekvuna probleme :

; ,

... xran wo probleme du iniziala valore, poys las dos kunstezas kondices xran ambas doniras rilatey al wo sama punkte x = p .

La sekvuna probleme :

; ,

... xran wo probleme du konturas valores, poys las dos kunstezas kondices xran ca wo donira por nirsamas punktes, x = 0 iw x = 1 .

Wo solve du wo probleme du inizialas valores ow du konturas valores xran wo aparta funkzie y( x ) kwa satifan non nur la diferenzia ekwazie, sed ankey cas kunstezas kondices.

LINEARAS DIFERENZIAS EKWAZIES DU UNUA ORDENE

Las linearas diferenzias ekwazies du unua ordene camey evan skribi sub la yena forme :

( 7 )

HOMOGENAS DIFERENZIAS EKWAZIES

Wo ekwazie du forme ...

( 8 )

... xran homogena kazey du funkzie f non-dependi apartey di x ow du y , sed du frakzie y/x ow x/y . Twey, wo homogena ekwazie avran la forme ...

( 9 )

EKZATAS DIFERENZIAS EKWAZIES

Nis konsideruy wo diferenzia ekwazie skribira sub la yena forme :

( 10 )

Twa ekwazie xran ekzata kazey ekzisti wo funkzie g(x , y) twey ke :

( 11 )

Teste: Sar M(x, y) iw N(x, y) xran ambas kontinuas funkzies kun lawpartas kontinuas derivates du unuas ordenes en wo rektangule sur la ebene XY, lur Ek. 10 xran ekzata sar nur sar:

Ekzempley: en la diferenzia ekwazie ...

( 12 )

... nis avran ke :

iw

Vidirey ke :

... lur, la ekwazie xran ekzata.

SEPAREVAS DIFERENZIAS EKWAZIES

Wo diferenzia ekwazie sub la forme :

( 13 )

... xran separeva, ow kun separevas variables, kazey sti :

( funkzie nur du x )

( funkzie nur du y )

SOLVE DU SEPAREVA DIFERENZIA EKWAZIE DU UNUA ORDENE

Nis konsideruy la separeva diferenzia ekwazie du unua ordene :

( 14 )

La solve du supra ekwazie xran :

( 15 )

... xrani C wo arbitra konstante.

SOLVO METODE POR EKZATAS DIFERENZIAS EKWAZIES

Por solvi la ekzata diferenzia ekwazie ( 10 ) nis devan unuey solvi las ekwazies :

( 16 )

( 17 )

La solve du Ek. 10 xran implizey donira per :

( 18 )

... kwem c xran wo arbitra konstante.

Ekzempley, nis solvuy la sekvuna ekwazie :

( 19 )

La supra ekwazie xran ekzata ( identa al Ek. 12 ). Nis determinuy wo funkzie g(x , y) kwa satifuy Ek. 16 iw Ek. 17. Lur venan :

iw iw

Suprey, nis integralian rilatey al la variable x , konsideruney y kwaw konstante. Iw la integralia konstante, h( y ) , devan xri funkzie nur du y . Notuy ke rilatey al la variable x , h( y ) xran wew konstante. Nis trovan la yene:

Nun mankan trovi, en la supra formule, la funkzie h( y ) . Por twe, nis diferenziuy g(x, y) rilatey al la variable y , trovuney :

Sed la supra lawparta derivate rilatey al y certey egalan al N(x , y) ; twe xran :

Sekvey, nis avran :

di kwem venan

Iw la funkzie g(x, y) farijan lur :

Sekvey, la sercira solve du ekzata diferenzia Ek. 19 xran klarey :

( C = c – c1 )

Eksplizituney la supra formule rilatey al la variable y , la solve ankey skribijan kwaw :

Alia ekzemple pri ekzata diferenzia ekwazie. Nis solvuy :

( 20 )

Jim nis avran :

Nis vidan ke trovijan :

; lur, Ek. 20 xran wo ekzata diferenzia ekwazie.

Nun nis sercuy wo solve kwa satifuy Ek. 16 iw Ek. 17.

Law Ek. 17, nis devan diferenzii la supra esprime rilatey al la variable y , trovuney :

Sekvey, venan :

La solve du Ek. 10 xran implizey donira per Ek. 18 :

( 21 )

Finey, la solve du ekzata diferenzia Ek. 20 xran implizey donira per :

( C = c – c1 )

SOLVUNEY LINEARAS DIFERENZIAS EKWAZIES DU UNUA ORDENE

Kwey nis yam viden, las linearas diferenzias ekwazies du unua ordene evan skribi sub la yena forme :

( 22 )

Wo integraliuna faktore por la supra ekwazie xran la sekvuna :

( 23 )

Notuy ke la supra faktore xran sendependa du variable y . Per twa, nis multiplikuy ambas las membres du pli supra lineara diferenzia ekwazie. Nis trovan :

Lur, la supra formule nos donan la generala solve por la lineara diferenzia ekwazie du unua ordene.

Ekzempley, nis solvuy :

( 24 )

Por la supra ekwazie, nis avran ke la integraliuna faktore valoran :

( Solve du Ek. 24 )

<<alfateta     MAT 1     proks>>