<<retro      MAT 2     proks>>

Manuale pri Matematike

TRIDIMENSIAS VEKTORES

wpe2.jpg (11235 bytes)

Por nus sekvuna stude, nis konsideruy las yenas vektores :

Las tri vektores xran "unuezas" ow "unitas". Zus "longezes" egalan al "unu". Zis forman la baze du vektora spaze ilustrira per la supra figure. Per zes onis faziley skriban ayna alia vektore en twa spaze, kwaw, ekzempley, las vektores citiras suprey.

INTERNA PRODUKTE

La interna produkte inter las vektores suprey citiras, definijan kwaw :

La interna produkte inter las vektores suprey citiras, definijan kwaw :

Grava propreze du interna produkte xran ke : .

Apartey, por las tri unitas vektores, nis avran ke la interna produkte inter zes definijan kwaw :

La magnitude du unitas vektores egalan al unu. La magnitude du generalas vektores, kwaw , definijan law :

( magnitude du vektore )

( magnitude du vektore )

La interna produkte inter dos vektores ankey envolvan la angule inter twas dos vektores, law :

kwem nis avran :

magnitude du vektore .

magnitude du vektore .

q angule inter las vektores .

Vidaw suprey, nis konkludan ke la angule q inter las vektores trovevan per :

EKSTERA PRODUKTE

La ekstera produkte inter dos vektores kutimey reprezentijan per la sekvuna "matrixe":

La supra "matrixe" xran simpla "memoreva bilde" por la justa define du "ekstera produkte", la jena :

La ekstera produkte inter dos vektores ankey envolvan la angule inter twas dos vektores, law :

kwem nis avran :

magnitude du ekstera produkte inter .

magnitude du vektore .

magnitude du vektore .

j angule inter las vektores .

Grava propreze du ekstera produkte xran ke : .

Apartey, por las tri unitas vektores, nis avran ke la ekstera produkte inter zes definijan kwaw :

MIXTA PRODUKTE

Subey nis definan la mixta produkte inter tri vektores :

ow

RIMARKE :

La rezulte du interna produkte xran wo "skalare" (t.x. "non-vektore").

La rezulte du ekstera produkte xran wo "vektore" (normala al la ebene kwem kuxan las vektores ar kwas onis eksterey multiplikan).

Iw la rezulte du mixta produkte, komprenevey, xran wo "skalare".

DERIVATES DU VEKTORES

Jim nis rekonsideran las dos vektores < r > iw < s > :

Derivate du vektore < r > respektey al la (skalara) variable < s > :

Derivate du vektore < s > respektey al la (skalara) variable < s > :

FORMULES PRI VEKTOROS DERIVATES

(en la tuy supra kaze, la orde du faktores gravan )

kwem

Kazey du xri wo konstante, nis avran ke :

LA OPERAZIUNE NABLI ( )

La Operaziune Nabli ( ) definijan per :

GRADIENTE ( DU SKALARA KAMPE )

Stuy wo funkzie < w > kwaw dependa du tri liberas variables ( x , y , z ).

Matematikey : w = f( x , y , z) .

La gradiente du funkzie w [ ow du skalara kampe w ] definijan kwaw :

Suprey, la simbole < > signifan "lawparta derivate", komprenevey.

Lur, < x > signifan "lawparta derivate respektey al la variable x .", itp.

Notuy ke GRAD{w} xran wo nova vektora funkzie ( el wo skalara ).

DIVERJENTE ( DU VEKTORA KAMPE )

Stuy wo vektora funkzie < Q > dependa du tri skalaras variables x , y , z :

kwem nis avran la yene :

( wo skalara funkzie du x , y , z , por la direkte a )

( wo skalara funkzie du x , y , z , por la direkte b )

( wo skalara funkzie du x , y , z , por la direkte g )

La diverjente du funkzie Q [ ow du vektora kampe Q ] definijan kwaw :

Notuy ke DIV{Q} xran wo nova skalara funkzie ( el wo vektora ).

ROTAZIONALE ( DU VEKTORA KAMPE )

Por la sama vektora funkzie Q , kwo diverjente nis definen suprey, yen nis tuy prezentan zu rotazionale :

kwem stan la yene :

; ;

Onis ankey bildifan la rotazionale per la sekvuna "matrixe" :

Notuy ke ROT{Q} xran wo nova vektora funkzie ( el wo vektora ).

LAPLAZIANE ( DU SKALARA OW DU VEKTORA KAMPE )

La Laplaziane du skalara kampe < w > definijan kwaw :

La Laplaziane du wo skalara kampe xran alia skalara kampe.

La Laplaziane du vektora kampe < Q > definijan kwaw :

La Laplaziane du wo vektora kampe xran alia vektora kampe.

PLURAS FORMULES KUN LA OPERAZIUNE NABLI ( )

Stuy u iw w kwaw dos skalaras kampes.

Stuy P iw Q kwaw dos vektoras kampes.

Por la Operaziune Nabli ( ) validan las sekvunas identezes :

[ t.x. la rotazionale du gradiente du w egalan zere ]

[ t.x. la diverjente du rotazionale du P egalan zere ]

CILINDRAS KOORDINATES

wpe3.jpg (13993 bytes)

Rimarkuney las figures en la waa paje, nis rilatan las retaktangulas variables x , y , z , al las cilindras variables r , f , z , law :

Stuy wo vektore U donira en las dos sistemes, la rektangula iw la cilindra, kwaw subey :

En la rektangula forme, A, B, C, xran funkzies du x , y , z .

En la cilindra forme, E, F, G, xran funkzies du r , f , z .

Por nis trovi ayna komponune, nis devan uzi la skalara produkte kwaw nis faran subey:

SKALARA PRODUKTE INTER UNITAS VEKTORES INTER LAS SISTEMES
REKTANGULA (EN LA VERTIKALE) IW CILINDRA (EN LA HORIZONTALE)

 

0

0

0

0

1

LA DIVERJENTE EN CILINDRAS KOORDINATES

Por la vektore , donira en cilindras koordinates, la diverjente koresponda en twa sisteme skribijan kwaw :

LA GRADIENTE EN CILINDRAS KOORDINATES

Por la skalara kampe V = V( r , f , z ) , donira en cilindras koordinates, la gradiente koresponda en twa sisteme skribijan kwaw :

LA ROTAZIONALE EN CILINDRAS KOORDINATES

Por la vektore , donira en cilindras koordinates, la rotazionale koresponda en twa sisteme skribijan kwaw :

LA LAPLAZIANE EN CILINDRAS KOORDINATES

Por la skalara kampe V = V( r , f , z ) , donira en cilindras koordinates, la laplaziane koresponda en twa sisteme skribijan kwaw :

SFERAS KOORDINATES

wpe2.jpg (14007 bytes)

Rimarkuney las figures en la waa paje, nis rilatan las retaktangulas variables x , y , z , al las sferas variables r , q , f , law :

( 0 grades q 180 grades )

Stuy wo vektore U donira en las dos sistemes, la rektangula iw la sfera, kwaw subey :

En la rektangula forme, A, B, C, xran funkzies du x , y , z .

En la sfera forme, L, M, N, xran funkzies du r , q , f .

Por nis trovi ayna komponune, nis devan uzi la skalara produkte kwaw nis faran subey:

SKALARA PRODUKTE INTER UNITAS VEKTORES INTER LAS SISTEMES
REKTANGULA (EN LA VERTIKALE) IW SFERA (EN LA HORIZONTALE)

 

0

LA DIVERJENTE EN SFERAS KOORDINATES

Por la vektore , donira en sferas koordinates, la diverjente koresponda en twa sisteme skribijan kwaw :

LA GRADIENTE EN SFERAS KOORDINATES

Por la skalara kampe V = V( r , q , f ) , donira en sferas koordinates, la gradiente koresponda en twa sisteme skribijan kwaw :

LA ROTAZIONALE EN SFERAS KOORDINATES

Por la vektore , donira en sferas koordinates, la rotazionale koresponda en twa sisteme skribijan kwaw :

LA LAPLAZIANE EN SFERAS KOORDINATES

Por la skalara kampe V = V( r , q , f ) , donira en sferas koordinates, la laplaziane koresponda en twa sisteme skribijan kwaw :

<<retro      MAT 2     proks>>