<<retro     MAT 3     alfateta>>

Manuale pri Matematike

LA DEFINITA INTEGRALIE IW
LA KALKULADE DU AREE SUR LA GRAFIKE

Figure

wpe2.jpg (13991 bytes)

En la supra Kartezia Grafike, nis vidan la trayte du wo funkzie y = f ( x ) , desegnira inter las dos vertikalas rektes x = a iw x = b . La trayte du grafike "trancan" dos foyes la horizontala akse ( du "xises" ) , formuna tri regiones : A1 , A2 , iw A3 . Nis rimarkuy ke las regiones A1 iw A3 trovijan ambas super la horizontala akse ( du "xises" ), dum la regione A2 trovijan sub twa sama akse.

Kalkuluney la DEFINITA INTEGRALE por la funkzie y = f ( x ) inter las dos punktes a iw b , nis avran la sekvuna propreze :

En la dosa membre du supra ekwazie, las arees A1 iw A3 (kwas trovijan super la akse X) kontribuan pozitivey , dum la aree A2 (sub la akse X) kontribuan negativey , por la kalkule du Definita Integrale.

LA DOSOBLA INTEGRALIE POR KALKULI
WO EBENA AREE SUR LA KARTEZIA GRAFIKE

Figure

wpe4.jpg (20561 bytes)

La supra Figure nos montran wo Regione R limira subey per wo funkzie f1(x) , limira superey per wo alia funkzie f2(x) , limira nirdekstrey per wo vertikala rekte x = a , iw limira dekstrey per wo alia vertikala rekte x = b .

La aree du Regione R povax xri lawnombrey kalkulira per la suba indikira definita integrale :

Kwaw wo nombra ekzemple, nis konsideruy la yene :

Las dos kurbes suprey doniras, ilustriras en la sekvuna grafike, "trancan" wo ar alia ye las dos punktes x = 2 iw x = 4 , formuna inter las kurbes wo Regione R .

Figure

wpe5.jpg (14267 bytes)

Onis povan kalkuli la (nombra) aree du Regione R twamanierey :

unites du aree ( responde al la probleme )

LA DOSOBLA INTEGRALIE POR KALKULI
WO VOLUME SUR LA EBENE IW SUB WO SURFAZE

Figure

wpe6.jpg (11120 bytes)

 

Stuy en la tridimensia kartezia (t.x. rektangula) spaze el las tri akses X, Y, Z, wo surfaze donira kwaw funkzie du dos variables (x,y), twey ke twa surfaze restuy kompletey super la ebene (X,Y). Twe xran, nis prenuy wo funkzie z = f(x,y) , z > 0 . (Vidu la supra Fig.)

La volume troveva inter la Regione R , kwa xrax kvazaw wo "ombre" (pli ekzatey: wo "ortoyekte") du surfaze z = f(x,y) sur la ebene (X,Y), iw la propra surfaze z = f(x,y) , donar fa la yena definita integrale :

Ekzempley, stuy la surfaze :

(vidu la suba Fig.)

wpe7.jpg (9056 bytes)

Zi korespondan al wo paraboloyde turnira suboy, kwo pley alta punkte (la poynte) trovijan sur la akse Z ye la koordinate z = 9 (por x = 0 iw y = 0), iw twa paraboloyde interzeptan la ebene (X,Y) por la koordinate z = f(x,y) = 0 = 9 – x2 – y2 ( = zere).

Sekvey la regione sur la ebene (X,Y) definijan per la ekwazie :

(ekwazie du regione sur la ebene (X,Y)).

Por plenumi la voluma definita integralie kwaw eksponira pli suprey, nis raytan ekspliziti la variable y (ekzempley) kwaw dos funkzies du variable x , kwaw sekvan.

;

Nis trovan :

Nis devan efekti la supra integralie, inter las krampes, konsideruney la variable x kwaw wo konstante respektey al la variable y . Sekvey venan :

Konsultuney wo tabele pri integrales, nis trovan la supra integrale preta kwaw :

Sekvey nis finan kalkuli la volume sub la paraboloyde as :

(volume sub la paraboloyde iw super la ebene (X,Y)).

INTEGRALIE KUN VEKTORES

Sar nis avran ke :

lur la non-definita integrale du P(u) xran :

[ C jim xran wo konstanta vektore ]

La definita integrale du P(u) di u = a yu u = b donar per :

ARKO TRAYTE, VELOZITE, AKZELE, LONGEZE

Figure

wpe8.jpg (14553 bytes)

En la figure du waa paje, wo Kurbe C traytira en la tridimensia spaze priskribijan per wo vektora funkzie < R( t ) > kwey :

Notuy ke la funkzie < R( t ) > avran wo "parametre" < t > , kwa xran la "sendependa variable" kwa determinan la kondute du tri skalaras termes x( t ) , y( t ) , z( t ) , kwas komponan la vektore < R( t ) > du Kurbe C .

En la konzerna figure, nis ilustran dos punktes, Po iw P, alpunktiras fa las dos vektores < Ro > iw < R > . Inter las punktes Po iw P, nis distingan wo Arke S kwo longeze xran < s > .

Pri la Kurbe C, nis raytan (kvankam twe non xran postulira) pripensi pri la parametre < t > kvazaw < t > xrax la tempe dum kwam la punkte P movijan lawlongey du Kurbe C. Twa vidpunkte, kvankam non-nezesa, xran utila, spezialey por "fizikistes" interesiras pri korpo movade, kinematike, itp. Twey pripensuna, nis sekvey definan la "velozite" iw la "akzele" du Kurbe C, kwaw yeney :

Suprey, < V( t ) > xrax la velozite du Kurbe C.

x’( t ) , y’( t ) , z’( t ) , xran wo simpla rimede por reprezenti la unua derivate du funkzies x( t ) , y( t ) , z( t ) .

Ankey suprey, < A( t ) > xrax la akzele du Kurbe C.

x"( t ) , y"( t ) , z"( t ) , xran wo simpla rimede por reprezenti la dosa derivate du funkzies x( t ) , y( t ) , z( t ) .

Por reprezenti kwaw suprey la "velozite" iw la "akzele" du Kurbe C, nis xatax uzi kelkafoyey nus propra notazie por las derivates, kwaw nis donan ze subey.

Pri la kurbo velozite < V( t ) > , nis notuy ke :

En la supra rilate, v = | V( t ) | xran la magnitude du velozite du Kurbe C, ow ankey, la magnitude du velozite du punkte P trariuna la Arke S ( parte du Kurbe C ), kwo longeze xran < s > . La lasta terme du supra egalaje nos montran la derivate du Arke S respektey al la parametre ( la "tempe" ) t .

Por kalkuli la arko longeze < s > inter dos fiksiras punktes < t = a > iw < t = b > , nis lur simpley kalkulax la sekvuna "arko integralie" :

La supra definita integrale nos donan la longeze du Arke S ( kwa xrax s ) inter las dos punktes t = a iw t = b .

LAWLINIA INTEGRALIE

En la tridimensia spaze, stuy wo kurbe ( wo "voye" ) s(t) donira per :

iw cirkaw twa kurbe stuy wo vektora kampe ( wo "forte" ) donira per :

La "lawlinia" integrale du "forte" F(t) lawlongey du "voye" s(t) xran :

Twa integrale korespondan (en Fizike) al la "labore" farira per la forte F lawlongey du voye s .

Stuy s’(t) la derivate respektey al variable t du kurbe (du "voye") s(t) .

Matematikey :

Sekvey la integrale suprey prezentira skribijan ankey kwaw :

; ow ankey :

 

SURFAZOS EKWAZIES IW NORMALAS VEKTORES

Wo surfaze S povan xri reprezentira sub la yena forme :

... kwem x, y, z, xran kartezias (ow rektangulas) spazas koordinates.

La gradiente du f(x,y,z) xran orta (t.x. perpendikla) al la surfaze S, kondicey ke grad{f} 0. Matematikey nis avran :

... xrani grad{f} wo vektore perpendikla al la surfaze S.

Alia vektore perpendikla al la surfaze S xran - grad{f}.

Wo vektore unita iw perpendikla al la surfaze S xran klarey :

( vektore unita iw perpendikla al la surfaze S )

Ekzempley, nis konsideruy la sfere donira per la yena ekwazie (law rektangulas koordinates) :

( ekwazie du sfere kun radiuse a )

La vektore grad{f} , por twa sfera surfaze, kwaw diskutira suprey, prezentijan twey :

La magnitude du vektore gradiente kalkulijan kwaw :

Notuy ke por skribi la magnitude du gradiente suprey, nis utilizen la fakte ravenuna di la originala formule du sfero ekwazie, kwe nos diran :

Iw finey nis trovan la esprime du unita normala vektore al la surfaze S , la yene :

Multifoyey konvenan utilizi wo eksplizira reprezentaje por la surfaze S, du tipe :

Evidentey, reskribuney la supra formule kwaw :

... nis tuy oyprenan wo implizira reprezentaje por la surfaze S.

Wo surfaze S akzeptan ankey wo parametra reprezentaje du tipe :

Jim, u iw v xran dos sendependas variables reelas, nomiras las parametres du reprezentaje, di kwas dependan la vektora funkzie < r(u,v) >.

Ekzempley, la sfere donira suprey en rektangulas koordinates, povan xri reskribira en wo parametra formule law yeney :

a radiuse (konstanta) du sfere (kwa xran la surfaze S)

0 f 2p ; 0 q p .

Subey nis ilustran grafikey pri la vektora funkzie < s( f ,q ) > en la spaze.

wpe9.jpg (12208 bytes)

Donirey la surfaze S law wo parametra reprezentaje du tipe :

... ekzistan dos vektores, < ru > iw < rv > , kwas xran tangentas al la surfaze S, xrani twas dos vektores, < ru > iw < rv > , linearey sendependas inter se, vidaw xri u iw v dos sendependas variables inter se. Twey nis avran ke :

Twe xran, la vektore < ru > , tangenta al la surfaze S, donar per la lawparta derivate du vektora surfaze < r(u,v) > respektey al la variable u . Iw la vektore < rv > , ankey tangenta al la surfaze S, donar per la lawparta derivate du vektora surfaze < r(u,v) > respektey al la variable v .

Nis trovan faziley wo vektore unita iw perpendikla al la surfaze S dank’al la vektora produkte inter las tangentas vektores ru iw rv , law yeney :

( vektore perpendikla iw unita al la surfaze S )

La aree A du wo surfaze S donira parametrey per < r(u,v) > definijan per la sekvuna dosobla integralie :

... plenumira sur la regione du ebene UV kwem kuran las variables u iw v korespondey al la surfaze S.

La esprime :

... nomijan la areo elemente du surfaze S.

Nis ankey definuy ke :

; ;

... kwem suprey, E, F, G, donar per las indikiras vektoras internas produktes.

Per wo propreze du operaziade du vektores, nis avran ke :

Sekvey, la aree A du surfaze S skribijan ankey kwaw :

Iw la areo elemente dA du surfaze S skribijan ankey kwaw :

Nis konsideruy wo surfaze S donira eksplizitey en kartezias koordinates, tipey :

Nis povan trovi wo parametra reprezentaje por la supra surfaze, faruney :

; ;

Iw parametrey vektorey, la surfaze S reprezentijan kwey :

Las vektores tangentas al la surfaze S, kwas xran las lawpartas derivates du vektore < r(u,v) > respektey al las variables u iw v , skribijan kwey :

;

Las koefizientes E, F, G, skribijan kwey :

; ;

Di twe nis avran ke :

Vidaw ke x = u iw y = v , la formule pri la aree A du surfaze S alprenan la sekvuna forme :

En la supra formule, korespondan al la orta (vertikala) proyekte (t.x. al la "ortoyekte") du surfaze z = g(x,y) al sur la ebene XY.

La areo elemente dA du surfaze S klarey donar per :

 

<<retro     MAT 3     alfateta>>